נוסחאות וזהויות בטריגונומטריה

הגדרות במשולש ישר זווית בדף הנוסחאות של 3 ו-4 יח״ל

1. 1sin α = a/c ניצב מול חלקי יתר
2. 2cos α = b/c ניצב ליד חלקי יתר
3. 3tan α = a/b ניצב מול חלקי ניצב ליד

זוויות שכדאי לזכור בעל פה לא בדף - לזכור

משולש כללי

1. 1משפט הסינוסים a/(sin α) = b/(sin β) = c/(sin γ) = 2R R הוא רדיוס המעגל החוסםבדף הנוסחאות של 4 ו-5 יח״ל
2. 2משפט הקוסינוסים c² = a² + b² − 2a·b·cos γ γ היא הזווית שבין a ל-bבדף הנוסחאות של 5 יח״ל
3. 3שטח משולש לפי בסיס וגובה S = (a·h)/2 h הוא הגובה לצלע aבדף הנוסחאות של 3 יח״ל
4. 4שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן S = (a·b·sin γ)/2בדף הנוסחאות של 3, 4 ו-5 יח״ל
5. 5שטח משולש לפי שלוש זוויות וצלע אחת S = (a²·sin β·sin γ)/(2sin α)בדף הנוסחאות המכנה כתוב 2·sin(β + γ), וזה אותו דבר, כי sin α = sin(β + γ)בדף הנוסחאות של 5 יח״ל
6. 6שטח משולש לפי רדיוס המעגל החוסם S = 2R²·sin α·sin β·sin γלא בדף - לזכור

הזהויות הבסיסיות לא בדף - לזכור

1. 1זהות פיתגורס sin²α + cos²α = 1או sin²α = 1 − cos²αאו cos²α = 1 − sin²α
2. 2tan α = (sin α)/(cos α)
3. 3cot α = (cos α)/(sin α)
4. 4tan α·cot α = 1או tan α = 1/(cot α)או cot α = 1/(tan α)
5. 51 + tan²α = 1/(cos²α)
6. 61 + cot²α = 1/(sin²α)

זוויות קשורות

1. הזווית המשלימה ל-90°
2. 1sin(90° − α) = cos αבדף הנוסחאות של 4 ו-5 יח״ל
3. 2cos(90° − α) = sin αבדף הנוסחאות של 4 ו-5 יח״ל
4. 3tan(90° − α) = cot αלא בדף - לזכור
5. 4cot(90° − α) = tan αלא בדף - לזכור
6. זווית שלילית
7. 5sin(−α) = −sin αבדף הנוסחאות של 5 יח״ל
8. 6cos(−α) = cos αבדף הנוסחאות של 5 יח״ל
9. 7tan(−α) = −tan αלא בדף - לזכור
10. 8cot(−α) = −cot αלא בדף - לזכור
11. הזווית המשלימה ל-180°
12. 9sin(180° − α) = sin αבדף הנוסחאות של 4 ו-5 יח״ל
13. 10cos(180° − α) = −cos αבדף הנוסחאות של 4 ו-5 יח״ל
14. 11tan(180° − α) = −tan αלא בדף - לזכור
15. 12cot(180° − α) = −cot αלא בדף - לזכור

סכום והפרש של זוויות בדף הנוסחאות של 5 יח״ל

1. 1sin(α + β) = sin α·cos β + sin β·cos α
2. 2sin(α − β) = sin α·cos β − sin β·cos α
3. 3cos(α + β) = cos α·cos β − sin α·sin β
4. 4cos(α − β) = cos α·cos β + sin α·sin β

זווית כפולה

1. 1sin 2α = 2sin α·cos αבדף הנוסחאות של 5 יח״ל
2. 2cos 2α = cos²α − sin²αאו cos 2α = 2cos²α − 1או cos 2α = 1 − 2sin²αבדף הנוסחאות של 5 יח״ל
3. 3tan 2α = (2tan α)/(1 − tan²α)לא בדף - לזכור
4. 4cot 2α = (cot²α − 1)/(2cot α)לא בדף - לזכור

סכום והפרש של פונקציות בדף הנוסחאות של 5 יח״ל

1. 1sin α + sin β = 2sin((α + β)/2)·cos((α − β)/2)
2. 2sin α − sin β = 2sin((α − β)/2)·cos((α + β)/2)
3. 3cos α + cos β = 2cos((α + β)/2)·cos((α − β)/2)
4. 4cos α − cos β = −2sin((α + β)/2)·sin((α − β)/2)

משוואות טריגונומטריות לא בדף - לזכור

1. הפתרון הכללי
2. 1sin x = sin α x = α + 360°·k או x = 180° − α + 360°·kאותו סינוס: הזווית או המשלימה ל-180°
3. 2cos x = cos α x = α + 360°·k או x = −α + 360°·kאותו קוסינוס: הזווית או הנגדית
4. 3tan x = tan α x = α + 180°·kהטנגנס חוזר כל 180°
5. פתרונות מיוחדים
6. 4sin x = 1 x = 90° + 360°·kלמעלה
7. 5sin x = 0 x = 180°·kעל הציר האופקי
8. 6sin x = −1 x = −90° + 360°·kלמטה
9. 7cos x = 1 x = 360°·kימין
10. 8cos x = 0 x = 90° + 180°·kעל הציר האנכי
11. 9cos x = −1 x = 180° + 360°·kשמאל